1.为什么,当x趋近于正无穷或负无穷时,[1+(1/x)]^x的极限就等于e(e为自然对数,e=2.

Question

1.为什么,当x趋近于正无穷或负无穷时,[1+(1/x)]^x的极限就等于e(e为自然对数,e=2.

Answer 1

令t=1/x,则x→∞即t→0
lim(t→0)（1+t）^(1/t)
=lim(t→0)e^[ln(1+t)^(1/t)]
=lim(t→0)e^[(1/t)ln(1+t)]
∵lim(t→0)[(1/t)ln(1+t)]=1
∴lim(t→0)（1+t）^(1/t)=e
也就是lim（x→∞）（1+1/x）^x=e