在平面直角坐标系中，已知点A（-2，0），B（2，0），C（3，5）．（1）求过点A，C的直线解析式和过点A，B，C的抛物线的解析式；（2）求过点A，B及抛物线的顶点D的P的圆心P的坐标；（3）在

Question

在平面直角坐标系中，已知点A（-2，0），B（2，0），C（3，5）．

（1）求过点A，C的直线解析式和过点A，B，C的抛物线的解析式；
（2）求过点A，B及抛物线的顶点D的 P的圆心P的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点Q，使AQ与 P相切，若存在请求出Q点坐标．

Answer 1

（1）∵A（-2，0），B（2，0）；
∴设二次函数的解析式为y=a（x-2）（x+2）…①，
把C（3，5）代入①得a=1；
∴二次函数的解析式为：y=x²-4；
设一次函数的解析式为：y=kx+b（k≠0）…②
把A（-2，0），C（3，5）代入②得

-2k+b=0

3k+b=5

，
解得

k=1

b=2

，
∴一次函数的解析式为：y=x+2；
（2）设P点的坐标为（0，P_y），
由（1）知D点的坐标为（0，-4）；
∵A，B，D三点在 P上；
∴PB=PD；
∴2²+P_y²=（-4-P_y）²，
解得：P^_y=-(3)/(2)；
∴P点的坐标为（0，-(3)/(2)）；
（3）在抛物线上存在这样的点Q使直线AQ与 P相切．
理由如下：设Q点的坐标为（m，m²-4）；
根据平面内两点间的距离公式得：AQ²=（m+2）²+（m²-4）²，PQ²=m²+（m²-4+(3)/(2)）²；
∵AP=(5)/(2)，
∴AP²=(25)/(4)；
∵直线AQ是 P的切线，
∴AP⊥AQ；
∴PQ²=AP²+AQ²，
即：m²+（m²-4+(3)/(2)）²=(25)/(4)+[（m+2）²+（m²-4）²]
解得：m₁=(10)/(3)，m₂=-2（与A点重合，舍去）
∴Q点的坐标为（(10)/(3)，(64)/(9)）．