已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点A，C的坐标分别为A（-3，0），C（1，0），tan∠BAC=34．（1）求过点A，B的直线的函数表达式；（2）在x轴上找一点D，连接DB

Question

已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点A，C的坐标分别为A（-3，0），C（1，0），tan∠BAC=(3)/(4)．
（1）求过点A，B的直线的函数表达式；
（2）在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP=DQ=m，问是否存在这样的m，使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵点A（-3，0），C（1，0），
∴AC=4，BC=tan∠BAC×AC=(3)/(4)×4=3，B点坐标为（1，3），
设过点A，B的直线的函数表达式为y=kx+b，
由

0＝k×(−3)+b

3＝k+b

得k＝(3)/(4)，b＝(9)/(4)，
∴直线AB的函数表达式为y＝(3)/(4)x+(9)/(4)
（2）如图，过点B作BD⊥AB，交x轴于点D，
在Rt△ABC和Rt△ADB中，
∵∠BAC=∠DAB，
∴Rt△ABC∽Rt△ADB，
∴D点为所求，
又tan∠ADB=tan∠ABC=(4)/(3)，
∴CD=BC÷tan∠ADB=3÷(4)/(3)＝(9)/(4)，
∴OD=OC+CD=(13)/(4)，∴D（(13)/(4)，0）；
（3）这样的m存在．
在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=5，
如图1，
当PQ∥BD时，△APQ∽△ABD，则(m)/(5)＝(3+(13)/(4)−m)/(3+(13)/(4))，
解得m＝(25)/(9)，
如图2，
当PQ⊥AD时，△APQ∽△ADB，
则(m)/(3+(13)/(4))＝(3+(13)/(4)−m)/(5)，
解得m＝(125)/(36)．