设L是一条平面曲线，其上任意一点P（x，y）（x＞0）到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L过点(12，0)．求曲线L的方程．

Question

设L是一条平面曲线，其上任意一点P（x，y）（x＞0）到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L过点((1)/(2)， 0)．求曲线L的方程．

Answer 1

由题意，L在点P的切线方程为：Y-y=Y′（X-x）
因此，它在y轴上的截距为y-xY′
∴√(x2+y2)＝y−xY′（x＞0）
∴(dy)/(dx)＝(y)/(x)−√(1+((y)/(x))2)
这是齐次方程，令u＝(y)/(x)，则(dy)/(dx)＝u+x(du)/(dx)
∴x(du)/(dx)＝−√(1+u2)
解得：−ln(u+√(1+u2))＝−lnx+ln|C|
即u+√(1+u2)＝Cx
将u＝(y)/(x)代入，得
y+√(x2+y2)

作业帮用户 2017-09-18