已知点M（1，m），圆C：x2+y2=4．（1）若过点M的圆C的切线只有一条，求m的值及切线方程；（2）若过点M且在两坐标轴上的截距相等的直线被圆C截得的弦长为23，求m的值．

Question

已知点M（1，m），圆C：x²+y²=4．
（1）若过点M的圆C的切线只有一条，求m的值及切线方程；
（2）若过点M且在两坐标轴上的截距相等的直线被圆C截得的弦长为2√(3)，求m的值．

Answer 1

（1）圆x²+y²=4的圆心为O（0，0），半径r=2．
∵过点A的圆的切线只有一条，
∴点A（1，m）是圆x²+y²=4上的点，可得1²+m²=4，解之得m=±√(3)．
当m=√(3)时，点A坐标为（1，√(3)），可得OA的斜率k=√(3)．
∴经过点A的切线斜率k'=-(√(3))/(3)，
因此可得经过点A的切线方程为y-√(3)=-(√(3))/(3)（x-1），化简得x+

作业帮用户 2017-09-28

问题解析

（1）根据直线与圆的位置关系，经过圆上一点作圆的切线有且只有一条，因此点A在圆x²+y²=4上，将点A坐标代入圆的方程，解出m．再由点A的坐标与直线的斜率公式算出切线的斜率，利用直线方程的点斜式列式，化简即可得到所求切线的方程；
（2）由题意，直线不过原点，设方程为x+y-a=0，利用直线被圆C截得的弦长为2

√(3)√(3)，可得圆心到直线的距离为1，求出直线的方程，即可求出m的值．

名师点评

本题考点：

直线和圆的方程的应用．

考点点评：

本题给出圆的方程与点A的坐标，求经过点A的圆的切线方程．着重考查了圆的方程、直线的基本量与基本形式、点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．

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