已知△ABC的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍，则最小角的余弦值为（）A.34B.56C.710D.23

Question

已知△ABC的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍，则最小角的余弦值为（　　）
A. (3)/(4)
B. (5)/(6)
C. (7)/(10)
D. (2)/(3)

Answer 1

设三边依次是x-1，x，x+1，其中x是自然数，且x≥2，
令三角形的最小角为A，则最大角为2A，
由正弦定理，有：(x−1)/(sinA)=(x+1)/(sin2A)=(x+1)/(2sinAcosA)，
∴cosA=(x+1)/(2(x−1))，
由余弦定理，有：cosA=(x2+(x+1)2−(x−1)2)/(2x(x+1))，
∴(x+1)/(2(x−1))=(x2+(x+1)2−(x−1)2)/(2x(x+1))，即(x+1)/(x−1)=(x2+4x)/(x2+x)=(x+4)/(x+1)，
整理得：（x+1）²=（x-1）（x+4），
解得：x=5，
三边长为4，5，6，
则cosA=(52+62−42)/(2×5×6)=(3)/(4)．
故选：A．