（本小题满分12分）如图所示，在直三棱柱中,、、分别是、、的中点，是上的点.（1）求直线与平面所成角的正切值的最大值；（2）求证：直线平面；（3）求直线与

Question

（本小题满分12分）如图所示，在直三棱柱 中, 、 、 分别是 、 、 的中点， 是 上的点.
（1）求直线 与平面 所成角的正切值的最大值；
（2）求证：直线 平面 ；
（3）求直线 与平面 的距离.

(第19题图)

 

 

Answer 1

（1）线PE与平面ABC所成角的最大值为  
（2）略
（3）

解:（1）PE在平面ABC内的射影为AP，
则∠EPA为PE与平面ABC所成角的平面角，

当点P与D重合时，AP最短，此时：

取直线PE与平面ABC所成角的最大值为      …………（4分）
（2）如图所示，连接DE、CE，∵D、E、F分别是所在棱的中点，
  
,
又平面EDC//平面
  ………………………………………………………（8分）
（3）解法一 由（2）可知，直线PE与平面 的距离等于两平行平面EDC与平面  的距离，即点 到平面EDC的距离，亦即A到平面EDC的距离.设A到平面EDC的距离为 ，又 ，平面 且平面 ，又 ,
为直角三角形.
由 ，得
      ………………………………………… （12分）
解法二 由（1）知，平面EDC//平面 ,故平面 的法向量也为 .又E到平面 的距离，即为向量 在法向量n上的投影的绝对值，
又 =