如图，三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC是等腰直角三角形，AB=AC=1，侧棱AA1⊥底面ABC，且AA1=2，E是BC的中点．（1）求异面直线AE与A1C所成角的余弦值；（2）求直线A1C与平面BCC1B1所成角的正切值．

Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC是等腰直角三角形，AB=AC=1，侧棱AA₁⊥底面ABC，且AA₁=2，E是BC的中点．
（1）求异面直线AE与A₁C所成角的余弦值；
（2）求直线A₁C与平面BCC₁B₁所成角的正切值．

Answer 1

（1）三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，取C₁B₁的中点H，连A₁H与HC，
∵E是BC的中点∴A₁H∥AE，∠CA₁H是异面直线AE与A₁C所成角，
∵底面ABC是等腰直角三角形，E是BC的中点，
∴AE⊥BC，
∴A₁H⊥BC，
∵侧棱AA′⊥底面ABC，
∴侧棱B₁B⊥A₁H，
∴A₁H⊥平面BCC₁B₁，∴A₁H⊥HC，
在Rt△A₁HC中，
cos∠CA₁H=(A1H)/(A1C)＝((√(2))/(2))/(√(5))(√(10))/(10)；              （6分）
（2）由（1）知A₁H⊥平面BCC₁B₁
A₁C在平面BCC₁B₁上的射影是HC，
∴∠A₁CH是直线A₁C与平面BCC₁B₁所成角，
在Rt△A₁HC中  tan∠A₁CH=(A1H)/(BC)＝((√(2))/(2))/((3√(2))/(2))＝(1)/(3)．            （12分）