锐角三角比书上写,一个锐角的正切.余切.正弦.余弦.统称为这个锐角的三角比而正切等的定义中,都带有一个“直角三角形”的前提然而,很多题目中,不告诉我这个三角形是直角三角形,就直接

Question

锐角三角比
书上写,一个锐角的正切.余切.正弦.余弦.统称为这个锐角的三角比
而正切等的定义中,都带有一个“直角三角形”的前提
然而,很多题目中,不告诉我这个三角形是直角三角形,就直接告诉我它的正切等是多少,难道说正切.正弦等也可以不再前提是直角三角形的情况下出现的吗
我很笨哦,希望说得明白点
另外，如果没有指明是直角三角形，可不可以直接根据对边和邻边求出它的正弦呢
如果不可以，那么为什么题目上没有告诉我是直角三角形就直接告诉我某个角的tan是多少

Answer 1

一个锐角的正切、余切、正弦、余弦,统称为这个锐角的三角比
定义中,都带有一个“直角三角形”的前提,这是为了方便理解和有一个统一的标准
一个锐角的正切、余切、正弦、余弦,这些三角比的数值,是这个锐角本身自己的“属性”,和这个角是否在直角三角形中无关
举例来说,在定义30度锐角的三角比时,我们构造了有一个锐角是30度的直角三角形,然后正弦值是1/2,余弦值是√3/2,正切值是√3/3
构造这样一个直角三角形只是为了方便研究,在任意一个三角形里面,或者不在三角形里面,30度角的三角比的值是不变的,始终满足正弦值是1/2,余弦值是√3/2,正切值是√3/3
这就好比在物理里,我们定义的物体的密度是每立方米物质的质量,但是密度是物体本身的属性,并非只有当物体在1立方米时才满足这个数值
因此,在没有直角三角形的前提下,锐角的三角比也是客观存在的,因为它是角本身自带的,和三角形形状没有必然联系
在通常的解题过程中,要通过边长来求一个角的三角比,常用的是余弦定理：
在任意△ABC中,若角A、B、C分别对应边a、b、c,那么有：
cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)
cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)
cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)
求出了某一个角的余弦值后,可以根据 (sinX)^2+(cosX)^2=1 这个关系求出正弦值,从而再求出正切、余切值
当然,一些简单的题目中也可以通过添加辅助线构造直角三角形的方法来计算三角比
要是还有不明白的,请给我发消息,愿意为你解答.