F是一个数域,A是F上的n阶方阵,集合W={B∈Fn*n|AB=0}证明：（1）w是Fn*n的子空间（2)若A的秩为R,求W的维数

Question

F是一个数域,A是F上的n阶方阵,集合W={B∈Fn*n|AB=0}
证明：（1）w是Fn*n的子空间
（2)若A的秩为R,求W的维数

Answer 1

（1）显然n阶0方阵∈W,所以W是 Fn*n的非空子集
对任意B1,B2∈W及k∈F,
由于AB1=0 ,AB2=0
则有A(B1+B2)=0, 即B1+B2∈W
A(kB1)=0, 即kB1∈W
所以W是Fn*n的子空间
（2）W的维数为（n-R ）*n . 证明如下：
设B的n个列向量为βj（j=1,2,...,n）
AB=0 等价于 Aβj=0 （j=1,2,...,n）
A的秩为R,所以每个βj都有n-R个基础解向量
从而W的维数=（n-R）*R