2.设R+为全体正实数集合,加法与数乘定义为：a⊕b=ab,a,b∈R+K•a=aK,K∈R问R+是否构成线性空间,为什么?

Question

2.设R+为全体正实数集合,加法与数乘定义为：
a⊕b=ab,a,b∈R+
K•a=aK,K∈R
问R+是否构成线性空间,为什么?

Answer 1

构成了啊.查看一下大学数学里高等代数的书上关于线性空间的定义,有大概八九个小条件,而R+不但满足那几条性质,而且还作成了一个交换群.
哈哈,错了,构不成线性空间的.
线性空间的定义:
若X为一个非空集合,K是数域(实数域或复数域),若在X上定义了一种加法运算 +:XxX->X,使得对X中任意元素x,y,都对应X中一个元素z,用z=x+y表示.又定义了数乘运算:*:KxX->X .(数乘运算符"*"一般省略)
如果X上的加法与数乘运算再满足以下八条,则X按上述的加法与数乘成为数域K上的线性空间.
X中任意元素x,y,z; K中任意元素a,b
1).x+y=y+x ------------(加法满足交换律)
2).x+(y+z)=(x+y)+z ----(结合律)
3).存在X中唯一元素O使得x+O=x,此O称为X中的零元素.
4).存在唯一的(-x),使得 x+(-x)=O,
5).a(x+y)=ax+ay
6).(a+b)x=ab+bx
7).a(bx)=(ab)x
8).1*x=x
原题中,R+中的任意数x,R中的任意数k,数乘 kx可能为负数,不一定在R中了,因此R+上的数乘运算,有问题.不满足线性空间的定义.所以构不成线性空间.
但要注意,线性空间的定义中的加法与数乘,并不一定是实数中的加法与乘法.代数的教材中一般也会给出一两个特别的例子.如果把原问题中的数乘运算修改为:k*x=x^k ,则原问题中的R+确实就构成一个线性空间了.零元就是1,上面的八条全部满足.