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对于正整数集合A={a1,a2,…,an}(n∈N*,n≥3),如果去掉其中任意一个元素ai(i=1,2,…,n)之后,剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合,且这两个集合的所有元素
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对于正整数集合A={a1,a2,…,an}(n∈N*,n≥3),如果去掉其中任意一个元素ai(i=1,2,…,n)之后,剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合,且这两个集合的所有元素之和相等,就称集合A为“和谐集”.
(Ⅰ)判断集合{1,2,3,4,5}是否是“和谐集”(不必写过程);
(Ⅱ)求证:若集合A是“和谐集”,则集合A中元素个数为奇数;
(Ⅲ)若集合A是“和谐集”,求集合A中元素个数的最小值.
(Ⅰ)判断集合{1,2,3,4,5}是否是“和谐集”(不必写过程);
(Ⅱ)求证:若集合A是“和谐集”,则集合A中元素个数为奇数;
(Ⅲ)若集合A是“和谐集”,求集合A中元素个数的最小值.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)集合{1,2,3,4,5}不是“和谐集”.…(3分)
(Ⅱ)设集合A={a1,a2,…,an}所有元素之和为M.
由题可知,M-ai(i=1,2,…,n)均为偶数,
因此ai(i=1,2,…,n)的奇偶性相同.
(ⅰ)如果M为奇数,则ai(i=1,2,…,n)也均为奇数,
由于M=a1+a2+…+an,所以n为奇数.
(ⅱ)如果M为偶数,则ai(i=1,2,…,n)均为偶数,
此时设ai=2bi,则{b1,b2,…,bn}也是“和谐集”.
重复上述操作有限次,便可得各项均为奇数的“和谐集”.
此时各项之和也为奇数,集合A中元素个数为奇数.
综上所述,集合A中元素个数为奇数.…(8分)
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知集合A中元素个数为奇数,
当n=3时,显然任意集合{a1,a2,a3}不是“和谐集”.
当n=5时,不妨设a12345,将集合{a1,a3,a4,a5}分成两个交集为空集的子集,且两个子集元素之和相等,
则有a1+a5=a3+a4①,或者a5=a1+a3+a4②;将集合{a2,a3,a4,a5}分成两个交集为空集的子集,且两个子集元素之和相等,
则有a2+a5=a3+a4③,或者a5=a2+a3+a4④.
由①、③,得a1=a2,矛盾;由①、④,得a1=-a2,矛盾;
由②、③,得a1=-a2,矛盾;由②、④,得a1=a2,矛盾.
因此当n=5时,集合A一定不是“和谐集”.
当n=7时,设A={1,3,5,7,9,11,13},
因为3+5+7+9=11+13,1+9+13=5+7+11,9+13=1+3+7+11,1+3+5+11=7+13,1+9+11=3+5+13,3+7+9=1+5+13,1+3+5+9=7+11,
所以集合A={1,3,5,7,9,11,13}是“和谐集”.
集合A中元素个数n的最小值是7.…(13分)
(Ⅱ)设集合A={a1,a2,…,an}所有元素之和为M.
由题可知,M-ai(i=1,2,…,n)均为偶数,
因此ai(i=1,2,…,n)的奇偶性相同.
(ⅰ)如果M为奇数,则ai(i=1,2,…,n)也均为奇数,
由于M=a1+a2+…+an,所以n为奇数.
(ⅱ)如果M为偶数,则ai(i=1,2,…,n)均为偶数,
此时设ai=2bi,则{b1,b2,…,bn}也是“和谐集”.
重复上述操作有限次,便可得各项均为奇数的“和谐集”.
此时各项之和也为奇数,集合A中元素个数为奇数.
综上所述,集合A中元素个数为奇数.…(8分)
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知集合A中元素个数为奇数,
当n=3时,显然任意集合{a1,a2,a3}不是“和谐集”.
当n=5时,不妨设a12345,将集合{a1,a3,a4,a5}分成两个交集为空集的子集,且两个子集元素之和相等,
则有a1+a5=a3+a4①,或者a5=a1+a3+a4②;将集合{a2,a3,a4,a5}分成两个交集为空集的子集,且两个子集元素之和相等,
则有a2+a5=a3+a4③,或者a5=a2+a3+a4④.
由①、③,得a1=a2,矛盾;由①、④,得a1=-a2,矛盾;
由②、③,得a1=-a2,矛盾;由②、④,得a1=a2,矛盾.
因此当n=5时,集合A一定不是“和谐集”.
当n=7时,设A={1,3,5,7,9,11,13},
因为3+5+7+9=11+13,1+9+13=5+7+11,9+13=1+3+7+11,1+3+5+11=7+13,1+9+11=3+5+13,3+7+9=1+5+13,1+3+5+9=7+11,
所以集合A={1,3,5,7,9,11,13}是“和谐集”.
集合A中元素个数n的最小值是7.…(13分)
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