如何证明：X是单点集当且仅当任意集到X有唯一的映射

Question

如何证明：X是单点集当且仅当任意集到X有唯一的映射

Answer 1

证明　必要性,对于f（X－A）的任一元素y,则存在不属于A的元素x,有y＝f（x）,由于f是单射,故y不可能属于f（A）,故y属于Y－f（A）,于是f（X－A）包含于Y－f（A）；对于Y－f（A）的任一元素y,y不属于f（A）,由于f是满射,则必存在x不属于A,即属于X－A,有y＝f（x）,则y属于f（X－A）quyc故Y－f（A）　包含于f（X－A）4于是f（X－A）＝Y－f（A）．充分性,反证法,如果对于X的任一子集A有f（X－A）＝Y－f（A）,但f：X→Y不是双射,此时f或不是单射,或不是满射,如果不是单射,则存在X中的两个不同元素x1,x2有y＝f（x1）＝　f（x2）,取A＝｛　x1｝,则x2不属于A,y＝　f（x2）属于f（X－A）,但y＝f（x1）　又属于f（A）,即y不属于Y－f（A）,故f（X－A）≠Y－f（A）；　　　　如果不是满射,则存在Y中的元素y,对任意X中的元素x,y≠f（x）,即y不属于f（X）,此时取A＝空集,f（X－A）＝　f（X）,Y－f（A）＝Y,但f（X）≠Y,这是因为y属于Y但不属于f（X）,即f（X－A）≠Y－f（A）．也即f：X→Y不是双射则存在X的子集A有f（X－A）≠Y－f（A）．