对x∈R，定义sgn(x)＝1，x＞00，x＝0−1，x＜0．（I）求方程x2-3x+1=sgn（x）的根；（II）求函数f（x）=sgn（x-2）（x-lnx）的单调区间；（III）记点集S={（x，y）|xsgn（x-1）•ysgn（y-1）=10}，x＞0，y＞

Question

对x∈R，定义sgn(x)＝

1，x＞0

0，x＝0

−1，x＜0

．
（I）求方程x²-3x+1=sgn（x）的根；
（II）求函数f（x）=sgn（x-2）（x-lnx）的单调区间；
（III）记点集S={（x，y）|x^sgn（x-1）•y^sgn（y-1）=10}，x＞0，y＞0，点集T={（lgx，lgy）|（x，y）∈S}，求点集T围成的区域的面积．

Answer 1

（I）当x＞0时，sgn（x）=1，解方程x²-3x+1=1，得x=0（舍）或x=3
当x=0时，sgn（x）=0，0不是方程x²-3x+1=0的解
当x＜0时，sgn（x）=-1，解方程x²-3x+1=-1，得x=1（舍）或x=2（舍）
综上所述，x=3是方程x²-3x+1=sgn（x）的根．（3分）
（II）函数f（x）的定义域是{x|x＞0}（4分）
当x＞2时，f（x）=x-lnx，f′(x)＝1−(1)/(x)＞0恒成立（5分）
当0＜x＜2时，f（x）=-（x-lnx），f′(x)＝(1)/(x)−1
解f'（x）＞0得0＜x＜1或x＞2（16分），
解f'（x）＜0得1＜x＜2（7分）
综上所述，函数f（x）=sgn（x-2）•（x-lnx）的单调增区间是（0，1），（2，+∞），单调减区间是（1，2）．（8分）
（ III）设点P（x，y）∈T，则（10^x，10^y）∈S．
于是有(10x)sgn(10x−1)•(10y)sgn(10y−1)＝10，
得x•sgn（10^x-1）+y•sgn（10^y-1）=1
当x＞0时，10^x-1＞0，sgn（10^x-1）=1，xsgn（10^x-1）=x
当x＜0时，10^x-1＜0，sgn（10^x-1）=-1，xsgn（10^x-1）=-x
∴xsgn（10^x-1）=|x|
同理，T={（x，y）||x|+|y|=1}（11分）
点集T围成的区域是一个边长为√(2)的正方形，面积为2．（13分）