设阵A=001a12100相似于对角阵，求a及可逆阵P，使P-1AP=Λ，其中Λ为对角阵．

Question

设阵A=

0  0  1

a  1  2

1  0  0

相似于对角阵，求a及可逆阵P，使P^-1AP=Λ，其中Λ为对角阵．

Answer 1

因为|A−λE|＝

.

−λ	0	1
a	1−λ	2
1	0	−λ

.

=(1−λ)

.

−λ	1
1	−λ

.

=（1-λ）（λ²-1）=-（λ+1）（λ-1）²，
所以A特征值为λ₁=-1，λ₂=λ₃=1．
因为A相似于对角阵，所以对于λ₂=λ₃=1，有R（A-λE）=R（A-E）=3-2=1，从而
A−E＋=

−1	0	1
a	0	2
1	0	−1

∽

−1	0	1
a+2	0	0
0	0	0

，所以a+2=0．即a=-2．
所以，A＝

0	0	1
−2	1	2
1	0	0

．
对λ₁=-1，方程组（A-λ₁E）X=（A+E）X=0有
A+E＝

1	0	1
−2	2	2
1	0	1

∽

1	0	1
0	1	2
0	0	0

所以，其对应的特征向量α1＝

1

2

−1

；
对λ₂=λ₃=1，方程组（A-λE）X=（A-E）X=0有
A−E＝

−1	0	1
−2	0	2
1	0	−1

∽

1	0	−1
0	0	0
0	0	0

所以，其对应的特征向量α2＝

0

1

0

，α3＝

1

0

1

．
所以有，P＝

1	0	1
2	1	0
−1	0	1

，则P^-1AP=

−1
	1
		1

．