请线性代数好的人帮忙.A矩阵正定的必要条件为什么是对称阵A的行列式＞0,A主对角线的元素都大于0?由A正定能怎么推出来这个结论啊?

Question

请线性代数好的人帮忙.A矩阵正定的必要条件为什么是对称阵A的行列式＞0,A主对角线的元素都大于0?
由A正定能怎么推出来这个结论啊?

Answer 1

首先,为什么讨论对称矩阵?
任何一个矩阵A都可以唯一地分解为一个对称矩阵S和反对称矩阵T的和.A=S+T
对于反对称矩阵,满足T'=-T,其中'表示转置.
因此对于任意的向量x,有x'Tx=-x'T'x=-(x'Tx)'=-x'Tx,这里x'Tx是一个实数,它和自己的相反数相等,那它只能等于0.
这就是我们只考虑对称矩阵的原因,对于一般的矩阵A,它是否正定（或者负定）只取决于它的对称部分S,和反对称部分T无关.
下面再证明A正定能推出行列式大于0.
线性代数课本上肯定有这样一个定理：
对阵矩阵S的下列命题等价：
S是正定的；
S相合于单位阵I；
S=P'P,其中P是可逆方阵；
...
这样的话|S|=|P'||P|=|P|^2,又因为P可逆,所以|P|不等于0,所以|S|>0.证毕.
下面证明对角线元素都大于0
接着刚才那个定理：
（等价于）S的所有主子式大于0.
所谓主子式就是指选取矩阵中第i1,i2,i3,...,ik行,i1,i2,i3,...,ik列的元素,所组成的子矩阵的行列式.对角线上的元素都是一阶主子式,所以肯定都大于0.