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如图,在正方形ABCD中,点G在对角线BD上(不与点B,D重合),GE⊥DC于点E,GF⊥BC于点F,连结AG.(1)写出线段AG,GE,GF长度之间的数量关系,并说明理由;(2)若正方形ABCD的边长为1,∠AG

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如图,在正方形ABCD中,点G在对角线BD上(不与点B,D重合),GE⊥DC于点E,GF⊥BC于点F,连结AG.
作业帮
(1)写出线段AG,GE,GF长度之间的数量关系,并说明理由;
(2)若正方形ABCD的边长为1,∠AGF=105°,求线段BG的长.
▼优质解答
答案和解析
(1)结论:AG2=GE2+GF2
理由:连接CG.
∵四边形ABCD是正方形,
∴A、C关于对角线BD对称,
∵点G在BD上,
∴GA=GC,
∵GE⊥DC于点E,GF⊥BC于点F,
∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°,
∴四边形EGFC是矩形,作业帮
∴CF=GE,
在Rt△GFC中,∵CG2=GF2+CF2
∴AG2=GF2+GE2

(2)作BN⊥AG于N,在BN上截取一点M,使得AM=BM.设AN=x.
∵∠AGF=105°,∠FBG=∠FGB=∠ABG=45°,
∴∠AGB=60°,∠GBN=30°,∠ABM=∠MAB=15°,
∴∠AMN=30°,
∴AM=BM=2x,MN=
3
x,
在Rt△ABN中,∵AB2=AN2+BN2
∴1=x2+(2x+
3
x)2
解得x=
6
-
2
4

∴BN=
6
+
2
4

∴BG=BN÷cos30°=
3
2
+
6
6