方阵a不等于0a的k次等于零则a不能对角化

Question

方阵a不等于0a的k次等于零则a不能对角化

Answer 1

反证法.
如果 A 能对角化,设 λ 是 A 的一个特征值,x 是它对应的特征向量,则：A x = λ x
所以：A^2 x = A (A x) = A (λ x) = λ (A x) = λ (λ x) = λ^2 x
同理,这么推下去,得到：A^k x = λ^k x
因为 A^k = 0,所以 λ = 0
也就是说：A 的所有特征值都是 0.
所以,存在可逆阵 P,使得：A = P D P^(-1)
其中,D 是对角元素全为 0 的对角阵,也就是全零矩阵.
所以,这么乘出来后,A = 0
矛盾,证完了.