正四棱锥相邻两个侧面所成的二面角的平面角为α，侧面与底面的二面角的平面角为β，则2cosα+cos2β的值是（）A.1B.2C.-1D.32

Question

正四棱锥相邻两个侧面所成的二面角的平面角为α，侧面与底面的二面角的平面角为β，则2cosα+cos2β的值是（　　）
A. 1
B. 2
C. -1
D. (3)/(2)

Answer 1

设正四棱锥S-ABCD的底面边长为a，侧棱长为b，如图
过S做SE⊥AB与E，SO⊥底面ABCD与O，连EO，则∠SEO即为侧面与底面所成二面角的平面角，即为β，
在三角形SEO中，SE²=b2−(1)/(4)a2，OE=(a)/(2)，所以cos²β=((1)/(4)a2)/(b2−(1)/(4)a2)，cos2β=2cos²β-1=((1)/(2)a2)/(b2−(1)/(4)a2)-1
过B做BH⊥SA与H，连CH，由△SAB≌△SAC，所以CH⊥SA，则角BHC即为两个侧面所成的二面角的平面角，即α，
在△BCH中，BC=a，BH=CH=(a√(b2−(1)/(4)a2))/(b)，由余弦定理可得cosα=(−(1)/(4)a2)/(b2−(1)/(4)a2)，
所以2cosα+cos2β=2（cosα+cos²β ）-1=0-1=-1
故选C