已知：如图,P是正方形ABCD内点,∠PAD＝∠PDA＝150．求证：△PBC是正三角形

Question

已知：如图,P是正方形ABCD内点,∠PAD＝∠PDA＝150． 求证：△PBC是正三角形

Answer 1

1、高中做法：
设正方形边长=2
那么AB=BC=CD=AD=2
做PM⊥AD,由∠PAD=∠PDA=15°易得Rt△APM≌Rt△PDM
∴AM=DM=1/2AD=1,AP=PD,∠BAP=CDP=75°,
在直角三角形APM中
AP=AM/cos15°=1/cos15°=1/[(√6+√2)/4]=√6-√2
在△ABP中,由余弦定理：
PB²=AB²+AP²-2×AB×AP×cos75°
=2²+(√6-√2)²-2×2×(√6-√2)×(√6-√2)/4
=2²
∴PB=2
同理：PC=2
∴BC=PB=CD=2
∴△PBC是等边三角形.
2、初中做法：
以AD为边在正方形上方做一个等边三角形ADE,连接PE
∵∠PAD＝∠PDA＝15°
∴AP=DP
∵AE=DE,PE=PE
∴△APE≌△DPE
∴∠AEP=∠DEP=1/2∠AED=30°
∠EAP=∠EDP=60°+15°=75°
∴∠APE=∠DPE=75°
∴∠EAP=∠EPA=75°
∴AE=PE=AB=BC
在△AEP和△ABP中
∠EAP=∠BAP=75°(∠BAP=90°-∠DAP=75°)
AP=AP,AB=AE
∴△AEP≌△ABP
∴PE=PB=BC
同理PC=PE=BC
∴PB=PC=BC
∴△PBC是等边三角形