设不等边三角形ABC的外心与重心分别为M、G，若A（-1，0），B（1，0）且MG∥AB．（Ⅰ）求三角形ABC顶点C的轨迹方程；（Ⅱ）设顶点C的轨迹为D，已知直线L过点（0，1）并且与曲线D交于P

Question

设不等边三角形ABC的外心与重心分别为M、G，若A（-1，0），B（1，0）且MG ∥ AB．
（Ⅰ）求三角形ABC顶点C的轨迹方程；
（Ⅱ）设顶点C的轨迹为D，已知直线L过点（0，1）并且与曲线D交于P、N两点，若O为坐标原点，满足OP⊥ON，求直线L的方程．

Answer 1

（I）设C（x，y）（xy≠0），∵MG ∥ AB，可设G（a，b），则M（0，b）．
∴a= (-1+1+x)/(3) ，b= (0+o+y)/(3) ，即  x=3a，y=3b   （1）．  
∵M是不等边三解形ABC的外心，∴|MA|=|MC|，即

1+ b 2

=

x 2 + (b-y) 2

  （2）．
由（1）（2）得  x 2 +(y2)/(3) = 1 ．所以，三角形顶点C的轨迹方程为  x 2 +(y2)/(3) = 1 ，（xy≠0）．
（II）设直线l的方程为 y=kx+1，P（ x ₁ ，y ₁ ），N （x ₂ ，y ₂ ），
由

y = kx + 1

x 2 +(y2)/(3) = 1

  消y得 （3+k ² ）x ² +2kx-2=0．∵直线l与曲线D交于P、N两点，
∴△=b ² -4ac=4k ² +8（3+k ² ）＞0，x ₁ +x ₂ =- (2k)/(3+ k2) ，x ₁ •x ₂ =- (2)/(3+ k2) ．
∵OP⊥ON，∴x ₁ •x ₂ +y ₁ y ₂ =0，∴x ₁ •x ₂ +（kx ₁ +1）（kx ₂ +1）=0．
∴1+k ² （- (2)/(3+ k2) ）+k （- (2k)/(3+ k2) ）+1=0，∴k=± (3)/(3) ，
∴直线l的方程为 y=± (3)/(3)  x+1．