一道高中数学题已知A（3,0）,B（0,3）,C（cosα,sinα）.1.若向量AC*向量BC=-1,求sin2α的值；2.若绝对值（向量OA+向量OC）=根号13,且α属于（0,π）,求向量OB与向量OC的夹角.

Question

一道高中数学题
已知A（3,0）,B（0,3）,C（cosα,sinα）.
1.若向量AC*向量BC=-1,求sin2α的值；
2.若绝对值（向量OA+向量OC）=根号13,且α属于（0,π）,求向量OB与向量OC的夹角.

Answer 1

(1)
向量AC = (cosa - 3,sina)
向量BC = (cosa,sina - 3)
向量AC * BC = sina(sina - 3) + cosa(cosa - 3)
=(sina)^2 - 3sina + (cosa)^2 - 3cosa
= 1 - 3(sina + cosa)
= -1
所以
(sina + cosa) = 2/3
两边平方,得到
(sina)^2 + (cosa)^2 + 2sina cosa = 4/9
=>
1 + sin 2a = 4/9
=>
sin 2a = -5/9
(2)
向量OA + 向量OC = (cosa + 3,sina)
则
|向量OA + 向量OC| = 根号((sina)^2 + (cosa + 3)^2)
=根号(1 + 6cosa + 9)
= 根号(10 + 6cosa) = 根号13
两边平方,得到
6cosa = 3
cosa = 1/2
因为a∈(0,π)
所以
a = π/3
那么sina = 根号(3)/2
OC = (1/2,根号(3)/2)
设OB和OC夹角是b
那么有
OC * OB = |OC||OB|*cos b
但是
OC * OB = 3sina +0 = 3/2 * 根号(3)
|OC| = 1 且 |OB| = 3
那么有
1*3*cosb = 3/2 *根号(3)
所以有
cosb = 根号(3)/2
所以b = π/6
综上有OB和OC的夹角是 π/6