已知AB是抛物线y2=2px（p>0）的过焦点F的一条弦．设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点为M（x0，y0）．求证：（1）|AB|=2（x0+p2）；（2）若AB的倾斜角为θ，|AB|=2psin2θ；（3）x1x2=p24，y1y2=-p2；（

Question

已知AB是抛物线y²=2px（p>0）的过焦点F的一条弦．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点为M（x₀，y₀）．求证：（1）|AB|=2（x₀+(p)/(2)）；
（2）若AB的倾斜角为θ，|AB|=(2p)/(sin2θ)；
（3）x₁x₂=(p2)/(4)，y₁y₂=-p²；
（4）(1)/(|AF|)+(1)/(|BF|)为定值(2)/(p)．

Answer 1

证明：（1）由抛物线定义可得|AB|=x₁+(p)/(2)+x₂+(p)/(2)=x₁+x₂+p=2（x₀+(p)/(2)）；
（2）设直线AB的方程为x=my+(p)/(2)，代入y²=2px，可得y²-2pmy-p²=0，
y₁y₂=-p²，y₁+y₂=2pm，
∴y₁²+y₂²=2p（x₁+x₂）=4p²m²+2p²，∴x₁+x₂=2pm²+p，
∴θ=90°时，m=0，∴|AB|=2p=(2p)/(sin2θ)；θ≠90°时，m=(1)/(tanθ)，|AB|=(2p)/(tan2θ)+2p=(2p)/(sin2θ)．
∴|AB|=x₁+x₂+p=(2p)/(sin2θ)．
（3）由（2）知，y₁y₂=-p²，∴x₁x₂=((y1y2)2)/(4p2)=(p2)/(4)；
（4）(1)/(|AF|)+(1)/(|BF|)=(1)/(x1+(p)/(2))+(1)/(x2+(p)/(2))=(x1+x2+p)/(x1x2+x1+x2+(p2)/(4))=(2)/(p)．