如图，抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，-3），设抛物线的顶点为D．（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？

Question

如图，抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，-3），设抛物线的顶点为D．

（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；
（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？
（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）设该抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
由抛物线与y轴交于点C（0，-3），可知c=-3，
即抛物线的解析式为y=ax²+bx-3，
把A（-1，0）、B（3，0）代入，
得

a−b−3＝0

9a+3b−3＝0

解得a=1，b=-2．
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3，
∴顶点D的坐标为（1，-4）．
（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形，
理由如下：
过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F．
在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，
∴BC²=18，
在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1，
∴CD²=2，
在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB-OE=3-1=2，
∴BD²=20，
∴BC²+CD²=BD²，故△BCD为直角三角形．
（3）连接AC，则容易得出△COA∽△CAP，又△PCA∽△BCD，可知Rt△COA∽Rt△BCD，得符合条件的点为O（0，0）．
过A作AP₁⊥AC交y轴正半轴于P₁，可知Rt△CAP₁∽Rt△COA∽Rt△BCD，
求得符合条件的点为P1(0，(1)/(3))．
过C作CP₂⊥AC交x轴正半轴于P₂，可知Rt△P₂CA∽Rt△COA∽Rt△BCD，
求得符合条件的点为P₂（9，0）．
∴符合条件的点有三个：O（0，0），P1(0，(1)/(3))，P₂（9，0）．