设点E、F、G分别在△ABC三边AB、BC、AC上（除端点外）,求证：△AEG、△BEF、△CFG中至少有一个面积不大于四分之一

Question

设点E、F、G分别在△ABC三边AB、BC、AC上（除端点外）,求证：△AEG、△BEF、△CFG中至少有一个面积不大于
四分之一

Answer 1

反证法,假设都大于四分之一
S（△ABC）=1/2*AB*AC*sinA
S（△AEG）=1/2*AE*AG*sinA>1/4*S（△ABC）
因此有AE*AG>1/4*AB*AC
同理有BE*BF>1/4*BA*BC,CF*CG>1/4*CB*CA
把三个不等式乘起来,有
AE*BE*BF*CF*CG*AG>1/4*AB^2*1/4*BC^2*1/4*CA^2
由均值不等式,有
AE*BE<=1/4(AE+BE)^2=1/4*AB^2,
同理BF*CF<=1/4*BC^2,CG*AG<=1/4*CA^2,
矛盾,原命题得证