（2014•达州一模）定义：如果函数y=f（x）在区间[a，b]上存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b），满足f′（x1）=f(b)−f(a)b−a，f′（x2）=f(b)−f(a)b−a，则称函数y=f（x）在区间[a，b]上的一个双中值函数，

Question

（2014•达州一模）定义：如果函数y=f（x）在区间[a，b]上存在x₁，x₂（a＜x₁＜x₂＜b），满足f′（x₁）=(f(b)−f(a))/(b−a)，f′（x₂）=(f(b)−f(a))/(b−a)，则称函数y=f（x）在区间[a，b]上的一个双中值函数，已知函数f（x）=(1)/(3)x³-x²+a是区间[0，a]上的双中值函数，则实数a的取值范围是（　　）

A．（0，(3)/(2)）
B．（(3)/(2)，3）
C．（(1)/(2)，3）
D．（1，3）

Answer 1

由题意可知，
在区间[0，a]存在x₁，x₂（a＜x₁＜x₂＜b），
满足f′（x₁）=f′（x₂）=(f(a)−f(0))/(a)＝((1)/(3)a3−a2)/(a)＝(1)/(3)a2−a，
∵f（x）=(1)/(3)x³-x²+a，
∴f′（x）=x²-2x，
∴方程x2−2x＝(1)/(3)a2−a在区间（0，a）有两个解．
令g(x)＝x2−2x−(1)/(3)a2+a，（0＜x＜a）
则

△＝4+(4)/(3)a2−4a＞0

g(0)＝−(1)/(3)a2+a＞0

g(a)＝(2)/(3)a2−a＞0

a＞1

，
解得，(3)/(2)＜a＜3．
∴实数a的取值范围是((3)/(2)，3)．
故选：B．