设椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦点为F，短轴上端点为B，连接BF并延长交椭圆于点A，连接AO并延长交椭圆于点D，过B、F、O三点的圆的圆心为C．（1）若C的坐标为（-1，1），求椭圆方程和圆C

Question

设椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）的左焦点为F，短轴上端点为B，连接BF并延长交椭圆于点A，连接AO并延长交椭圆于点D，过B、F、O三点的圆的圆心为C．
（1）若C的坐标为（-1，1），求椭圆方程和圆C的方程；
（2）若AD为圆C的切线，求椭圆的离心率．

Answer 1

（1）∵三角形BFO为直角三角形，
∴其外接圆圆心为斜边BF中点C，
由C点坐标为（-1，1）得，b=2，c=2，
∴a²=b²+c²=8，
则圆半径r＝CO＝√(2)，
∴椭圆方程为(x2)/(8)+(y2)/(4)＝1，
圆方程为（x+1）²+（y-1）²=2；
（2）由AD与圆C相切，得 AD⊥CO，
BF方程为y＝(b)/(c)x+b，
由

y＝(b)/(c)x+b

(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1

，
得A(−(2a2c2)/(c(a2+c2))，−(b3)/(a2+c2))，
由

OA

•

OC

＝0，得b⁴=2a²c²，
（a²-c²）²=2a²c²a⁴-4a²c²+c⁴=0，
解得：e＝√(2−√(3))．