求y=(sinx)^n+(cosx)^n（n属于N）的值域（用含n的式子表达）

Question

求y=(sinx)^n+(cosx)^n（n属于N）的值域（用含n的式子表达）

Answer 1

n=0时,y=2
n=1时,y=√2sin(x+π/4),值域为[-√2,√2]
n=2时,y=1
n为大于2的偶数时,y=(sinx^2)^(n/2) + (1-sinx^2)^(n/2)
0≤sinx^2≤1
由均值不等式或对y求导可得此时 sinx^2=1/2有y的最小值,即2×(1/2)^(n/2)
y的最大值由sinx^2=1时取得
y的值域为[2×(1/2)^(n/2) ,1]
n为大于1的奇数时,|(sinx)^n+(cosx)^n|≤|sinx|^n+|cos|^n≤(sinx)^2+(cosx)^2=1
值域为[-1,1]