函数y=根号sinx+根号cosx，求函数的值域需要过程

Question

函数y=根号sinx+根号cosx，求函数的值域需要过程

Answer 1

解由sinx≥0且cosx≥0
知x属于[2kπ，2kπ+π/2]，k属于Z
由y=√sinx+√cosx
平方得
y^2=sinx+cosx+2√sinxcosx
令t=sinx+cosx，
则t=√2sin(x+π/4)，又由x属于[2kπ，2kπ+π/2]
则1＜t≤√2
且又由t^2=1+2sinxcosx
则sinxcosx=(t^2-1)/2
则y^2=t+2√(t^2-1)/2
=t+√2(t^2-1) ( 1＜t≤√2)
易知y^2在t属于(1,√2]上是增函数
即当t=1时，y^2有最小值y^2=1
当t=√2时，y^2有最大值y^2=2√2
即1＜y^2≤2√2
又由y＞0
即1＜y≤√(2√2)