已知a＞0，a≠1且loga3＞loga2，若函数f（x）=logax在区间[a，3a]上的最大值与最小值之差为1．（1）求a的值；（2）若1≤x≤3，求函数y=（logax）2-logax+2的值域．

Question

已知a＞0，a≠1且log_a3＞log_a2，若函数f（x）=log_ax在区间[a，3a]上的最大值与最小值之差为1．
（1）求a的值；
（2）若1≤x≤3，求函数y=（log_ax）²-log_a√(x)+2的值域．

Answer 1

（1）∵lo

g

3 a

＞lo

g

2 a

，
∴a＞1．
又∵y=log_ax在[a，3a]上为增函数，
∴log_a3a-log_aa=1，
即log_a3=1，∴a=3．
（2）∵1≤x≤3，
∴0≤log₃x≤1，
由于函数y=(log3x)2-log3√(x)+2可化为y=(log3x)2-(1)/(2)log3x+2=(log3x-(1)/(4))2+(31)/(16)，
故当log₃x=(1)/(4)时，函数y取得最小值为(31)/(16)，
当 log₃x=1时，函数y取得最大值为(5)/(2)，
∴所求函数的值域为[(31)/(16)，(5)/(2)]．