已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1=a（a∈R），设数列{an}的前n项和为Sn，且a1、a2、a4恰为等比数列{bn}的前三项．（1）求数列{an}的通项公式及Sn；（2）当n≥2时，比较An＝1S1+1S2+…+1Sn与Bn＝1

Question

已知公差不为0的等差数列{a_n}的首项a₁=a（a∈R），设数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁、a₂、a₄恰为等比数列{b_n}的前三项．
（1）求数列{a_n}的通项公式及S_n；
（2）当n≥2时，比较An＝(1)/(S1)+(1)/(S2)+…+(1)/(Sn)与Bn＝(1)/(b1)+(1)/(b2)+…+(1)/(bn)的大小．（可使用结论：n≥2时，2ⁿ＞n+1）

Answer 1

（1）设等差数列{a_n}的公差为d，由a22＝a1a4，…（1分）
得(a1+d)2＝a1(a1+3d)…（2分）
∵d≠0，∴d=a，
∴a_n=na₁，Sn＝(an(n+1))/(2)．
（2）∵(1)/(Sn)＝(2)/(a)((1)/(n)−(1)/(n+1))，
∴An＝(1)/(S1)+(1)/(S2)+…+(1)/(Sn)
=(2)/(a)(1−(1)/(n+1))．
∵{b_n}中，b₁=a，b₂=2a，
∴{b_n}是首项为a，公比为2的等比数列，
∴bn＝a×2n−1，
∴Bn＝(1)/(b1)+(1)/(b2)+…+(1)/(bn)
=(2)/(a)(1−(1)/(2n))，
∵当n≥2时，2ⁿ＞n+1，
即1−(1)/(n+1)＜1−(1)/(2n)，
∴当a＞0时，A_n＜B_n；当a＜0时，A_n＞B_n．