设z1是虚数，z2=z1+1z1是实数，且-1≤z2≤1，求|z1|的值以及z1实部的取值范围．

Question

设z₁是虚数，z₂=z₁+(1)/(z1)是实数，且-1≤z₂≤1，求|z₁|的值以及z₁实部的取值范围．

Answer 1

设z₁=a+bi，a，b∈R且b≠0，
则z2＝z1+(1)/(z1)＝a+bi+(1)/(a+bi)＝(a+(a)/(a2+b2))+(b−(b)/(a2+b2))i
∵z₂是实数，b≠0，于是有a²+b²=1，即|z₁|=1，还可得z₂=2a
由-1≤z₂≤1，得-1≤2a≤1，解得−(1)/(2)≤a≤(1)/(2)，
∴z₁的实部的取值范围是[−(1)/(2)，(1)/(2)]．