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已知{an}是公差为d的等差数列,{bn}是公比为q的等比数列,设m,n,p,k都是正整数.(1)求证:若m+n=2p,则am+an=2ap,bmbn=(bp)2;(2)若an=3n+1,是否存在m,k,使得am+am+1=ak?请说明理由;(
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已知{an}是公差为d的等差数列,{bn}是公比为q的等比数列,设m,n,p,k都是正整数.
(1)求证:若m+n=2p,则am+an=2ap,bmbn=(bp)2;
(2)若an=3n+1,是否存在m,k,使得am+am+1=ak?请说明理由;
(3)求使命题P:“若bn=aqn(a、q为常数,且aq≠0)对任意m,都存在k,有bmbm+1=bk”成立的充要条件.
(1)求证:若m+n=2p,则am+an=2ap,bmbn=(bp)2;
(2)若an=3n+1,是否存在m,k,使得am+am+1=ak?请说明理由;
(3)求使命题P:“若bn=aqn(a、q为常数,且aq≠0)对任意m,都存在k,有bmbm+1=bk”成立的充要条件.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵{an}是公差为d的等差数列,
∴am=a1+(m-1)d,an=a1+(n-1)d,am+an=2a1+(m+n-2)d,
又m+n=2p,∴am+an=2a1+2(p-1)d,
∵a1+(p-1)d=ap,∴am+an=2ap. …(3分)
∵{bn}是公比为q的等比数列,
∴bm=b1qm-1,bn=b1qn-1,bmbn=b12qm+n-2,
∵m+n=2p,
∴bmbn=b12q2p-2=b1qp-1•b1qp-1=bp•bp=bp2. …(6分)
(2)假设存在m,k,使得am+am+1=ak,由am+am+1=ak得6m+5=3k+1,
即k−2m=
Qm、k∈N*,∴k-2m为整数,矛盾.∴不存在m、k∈N+,使等式成立.(10分)
(3)“若bn=aqn(a、q为常数,且aq≠0)对任意m,都存在k,有bmbm+1=bk”成立,取m=1,
得b1b2=bk,∴a2q3=aqk,∴a=qk-3,即a=qc,其中c是大于等于-2的整数.(13分)
反之,当a=qc(c是大于等于-2的整数)时,有bn=qn+c,
显然bm⋅bm+1=qm+c⋅qm+1+c=q2m+1+2c=bk,其中k=2m+1+c.
∴所求的充要条件是a=qc,其中c是大于等于-2的整数.…(16分)
∴am=a1+(m-1)d,an=a1+(n-1)d,am+an=2a1+(m+n-2)d,
又m+n=2p,∴am+an=2a1+2(p-1)d,
∵a1+(p-1)d=ap,∴am+an=2ap. …(3分)
∵{bn}是公比为q的等比数列,
∴bm=b1qm-1,bn=b1qn-1,bmbn=b12qm+n-2,
∵m+n=2p,
∴bmbn=b12q2p-2=b1qp-1•b1qp-1=bp•bp=bp2. …(6分)
(2)假设存在m,k,使得am+am+1=ak,由am+am+1=ak得6m+5=3k+1,
即k−2m=
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Qm、k∈N*,∴k-2m为整数,矛盾.∴不存在m、k∈N+,使等式成立.(10分)
(3)“若bn=aqn(a、q为常数,且aq≠0)对任意m,都存在k,有bmbm+1=bk”成立,取m=1,
得b1b2=bk,∴a2q3=aqk,∴a=qk-3,即a=qc,其中c是大于等于-2的整数.(13分)
反之,当a=qc(c是大于等于-2的整数)时,有bn=qn+c,
显然bm⋅bm+1=qm+c⋅qm+1+c=q2m+1+2c=bk,其中k=2m+1+c.
∴所求的充要条件是a=qc,其中c是大于等于-2的整数.…(16分)
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