已知数列an是首项为1，公比为2的等比数列，f（n）=a1Cn1+a2Cn2+…+akCnk+…+anCnn（n∈N*）则f（n）=．

Question

已知数列a _n 是首项为1，公比为2的等比数列，f（n）=a ₁ C _n ¹ +a ₂ C _n ² +…+a _k C _n ^k +…+a _n C _n ⁿ （n∈N ^* ）则f（n）=______．

Answer 1

∵数列a _n 是首项为1，公比为2的等比数列，
∴f（n）=a ₁ C _n ¹ +a ₂ C _n ² +…+a _k C _n ^k +…+a _n C _n ⁿ （n∈N ^* ）
=1×C _n ¹ +2×C _n ² +…+2 ^k-1 C _n ^k +…+2 ^n-1 C _n ⁿ
= (1)/(2) （2×C _n ^n-1 +2 ² ×C _n ^n-2 +…+2 ^k C _n ^n-k +…+2 ⁿ C _n ⁰ ）
= (1)/(2) （1×C _n ⁿ +2×C _n ^n-1 +2 ² ×C _n ^n-2 +…+2 ^k C _n ^n-k +…+2 ⁿ C _n ⁰ ）- (1)/(2)
= (1)/(2) （1+2） ⁿ - (1)/(2)
= (3n -1)/(2)
故答案为 (3n -1)/(2)