数列{an}是首项为1,公比q>0的等比数列,设Tn=a1a2…an.（1）若T1,T2,T3,成等差数列,求公比q的值（2）求证T(n+2)+Tn大于等于[（T1+T2)T(n+1)]

Question

数列{an}是首项为1,公比q>0的等比数列,设Tn=a1a2…an.
（1）若T1,T2,T3,成等差数列,求公比q的值
（2）求证T(n+2)+Tn大于等于[（T1+T2)T(n+1)]

Answer 1

1.T1+T3=2T2,即,a1+a1a2a3=2a1a2……（*）
因为数列{an}是首项为1,公比q>0的等比数列,so,an=q^(n-1)
so,(*)式为 1+q^3=2q,解得,q=1（∵q>0）
2.T(n+2)+Tn=a1a2…an(a(n+1)a(n+2)+1)
（T1+T2)T(n+1)=（a1+a1a2）a1a2…ana（n+1）
所以要证T(n+2)+Tn大于等于[（T1+T2)T(n+1)],
即证,a(n+1)a(n+2)+1≥(a1+a1a2)a(n+1)
即证,q^(2n+1)+1≥q^n+q^(n+1)
即证,（q^(n+1)-1)(q^n-1)≥0
因为q>0,所以上式显然成立,