二项式展开项的系数的变化规律有些题让找展开项中系数最大的,解答过程一般都是先解不等式组：都是第r项的系数大于r-1想的系数,然后小于r+1项的系数,难道展开项的系数也和二项式系数一

Question

二项式展开项的系数的变化规律
有些题让找展开项中系数最大的,解答过程一般都是先解不等式组：都是第r项的系数大于r-1想的系数,然后小于r+1项的系数,难道展开项的系数也和二项式系数一样.遵循先增大后减小的规律?如果是,怎么证明?如果不是.那为什么用这总方法解题?
二项式全为正的情况

Answer 1

最大二项式系数就是求
C0n,C1n,……,Cnn中的最大的
而这个数列是先增大后减小的
所以最大的一个在中间,
如果n是奇数,最大的就是最中间一个
如果n是偶数,最大的就是最中间两个
展开式最大项是二项式系数还要乘以二项式中本身的数字.
这就要视题目而言,做一些比较
具体地说比如(a+b)^n展开,其中a,b是两个数字.
因为展开式是按照a的降幂排列,b的升幂排列,所以先看a和b的大小.
如果a大,那么最大项肯定在前一半,如果b大,就在后一半.
另外,如果是(a-b)^n的话,因为偶数项都是负的,所以只在奇数项里求就行了.
还是那句话,求最大项没有什么通法,还是得照上面的原则做一些比较.
不过一般能在题里出的都不会太麻烦.因为现在考试对计算能力的要求已经大大降低了.所以不用害怕此类题目.
再补充：
简单的说：二项式展开式的每一项,其实就相当于两个数列的对应乘积.一个是二项式系数的数列,即C0n,C1n,C2n……Cnn,这个数列是对称的,先增后减.另一个是上面的a和b的幂的乘积.这个数列是单调的,如果a大单调递减,如果b大单调递增（前提是b是正的）.
你所问的问题其实就相当于：一个单调数列与一个先增大后减小,有一个最大值的数列,对应相乘,结果会不会出现两个以上的最大值.
我想你也能想到了,答案是：不可能!
一个单调数列与一个先增大后减小的数列对应相乘,结果还是先增大,后减小.改变的只有最大值出现的位置.如果单调数列是增的,最大值会前移；单调数列是减的,最大值会后移.甚至有可能出现在第一个或者最后一个,但绝不会增加.
不知道你听明白了没有.