数列{an}的通项an=n2（cos2nπ3-sin2nπ3），其前n项和为Sn，则S30为．

Question

数列{a_n}的通项a_n=n²（cos²(nπ)/(3)-sin²(nπ)/(3)），其前n项和为S_n，则S₃₀为______．

Answer 1

∵a_n=n²（cos²(nπ)/(3)-sin²(nπ)/(3)）=n²cos(2nπ)/(3)
∴S30＝12•cos(2π)/(3)+22cos(4π)/(3)+3²cos2π+…+30²cos20π
=−(1)/(2)×1−(1)/(2)×22+32−(1)/(2)×42−(1)/(2)×52+62+…−(1)/(2)×282−(1)/(2)×292+302
=−(1)/(2)[1+2²-2×3²）+（4²+5²-6²×2）+…+（28²+29²-30²×2）]
=−(1)/(2)[（1²-3²）+（4²-6²）+…+（28²-30²）+（2²-3²）+（5²-6²）+…+（29²-30²）]
=−(1)/(2)[-2（4+10+16…+58）-（5+11+17+…+59）]
=−(1)/(2)[-2×(4+58)/(2)×10−(5+59)/(2)×10]
=470
故答案为：470