设数列an满足a1=2,a(n+1)-an=3*2^(2n-1)求an通项公式.令bn=n*an,求数列bn的前n项和

Question

设数列an满足a1=2,a(n+1)-an=3*2^(2n-1) 求an通项公式.令bn=n*a
n,求数列bn的前n项和

Answer 1

这是常见的数列题 所以弄懂一次就好办了
1) 如下：
a(n+1)-an=3*2^(2n-1)
an-a(n-1)=3*2^(2(n-1)-1)
.
a3-a2=3*2^(2*2-1)
a2-a1=3*2^(2*1-1)
全部相加得到：a(n+1)-a1=3*[2^(2n-1)+2^(2(n-1)-1)+.+2^(2*2-1)+2^(2*1-1)]
右边每项可写作：2^(2n-1)=2^(2n)*1/2=4^n*1/2,就可以把所有的1/2提出来
所以：a(n+1)-a1=3/2*[4^n+4^(n-1)+.+4^2+4^1]=3/2*{[4^(n+1)-4]/[4-1]}=2*4^n-2=2*2^2n-2=2^(2n+1)-2,而a1=2
因此：a(n+1)=2^(2n+1)=2^(2(n+1)-1),即：an=2^(2n-1)
2）如下：
bn=n*an=n*2^(2n-1)
Sn=b1+b2+...+b(n-1)+bn=1*2^(2*1-1)+2*2^(2*2-1)+.+(n-1)*2^(2*(n-1)-1)+n*2^(2*n-1)___(1)
4*Sn=2^2 * Sn=1*2^(2*2-1)+2*2^(2*3-1)+.+(n-1)*2^(2*n-1)+n*2^(2*(n+1)-1)___(2)
(2)-(1)：4*Sn-Sn=3*Sn=n*2^(2*(n+1)-1)-{2^(2*n-1)+2^(2*(n-1)-1)+.+2^(2*2-1)+2^(2*1-1)} =n*2^(2*(n+1)-1)- 1/2*{2^(2*n)+2^(2*(n-1))+.+2^(2*2)+2^(2*1)} =1/2 * n*2^(2*(n+1)) - 1/2*{4^n+4^(n-1)+.+4^2+4^1}=1/2* {n*4^(n+1) - [4^n+4^(n-1)+.+4^2+4^1]} = 1/2* {n*4^(n+1) - [4^(n+1)-4]/[4-1]} = 1/2* {n*4^(n+1) - 1/3* [4^(n+1)] + 4/3}
所以：Sn=1/6* {(n-1/3)*4^(n+1) + 4/3}