如何解决前项加后项等于两倍中项加表达式的数列问题例如：2an=a(n-1)+a(n+1)+2^(n-1)“”表示下标,“^”表示次方

Question

如何解决前项加后项等于两倍中项加表达式的数列问题
例如：2a_n=a_(n-1)+a_(n+1)+2^(n-1) “_”表示下标,“^”表示次方

Answer 1

对于这类题目经常用的是待定系数法,即先假设几个系数再有条件推出系数的值.这类题目的一般表达式可以写为：
2a_n=a_(n-1)+a_(n+1)+f(n).
在做的时候先在草稿纸上做如下事情：
令a_(n+1)-a_n+λf(n)=a_n-a_(n-1)+λf(n-1).
则可以得到如下方程：λ[f(n-1)-f(n)]=f(n),推得：λ=f(n)/[f(n-1)-f(n)]
对于一般的数列题目λ必为一常数.
代回,则可令b_n=a_(n+1)-a_n+λf(n),则有b_n=b_(n-1)=……=b_1,即：
a_(n+1)-a_n+λf(n)=b_1,再累加可以求得a_n.