设数列〔An〕的前n项和为Sn,且对n属于N+,都有Sn=2An-n,则（1）求数列〔An〕的前三项a1,A2,a3（2）根据上述结果,归纳猜想数列〔An〕的通项公式,并用数学归纳法加以证明

Question

设数列〔An〕的前n项和为Sn,且对n属于N+,都有Sn=2An-n,则（1）求数列〔An〕的前三项a1,A2,a3
（2）根据上述结果,归纳猜想数列〔An〕的通项公式,并用数学归纳法加以证明

Answer 1

（1）令n=1得,S1=2a1-1=a1,故a1=1；
令n=2得,S2=2a2-2=a1+a2=1+a2,故a2=3；
令n=3得,S3=2a3-3=a1+a2+a3=1+3+a3,故a3=7；
（2）由（1）,猜想an=2n-1,下面用数学归纳法进行证明：
①当n=1时,结论显然成立；
②假设当n=k时结论成立,即ak=2k-1,
从而由已知Sn=2an-n可得：Sk=2ak-k=2（2k-1）-k=2k+1-k-2．
故Sk+1=2k+2-k-3．
∴ak+1=Sk+1-Sk=（2k+2-k-3）-（2k+1-k-2）=2k+1-1．
即,当n=k+1时结论成立．
综合①②可知,猜想an=2n-1成立．即,数列{an}的通项为an=2n-1．