已知等比数列An的各项均为正整数Sn=80S2n=6480该数列前n项中最大项为54求n的值

Question

已知等比数列An的各项均为正整数 Sn=80 S2n=6480 该数列前n项中最大项为54求n的值

Answer 1

等比数列an的各项均为正数,其前n项中,数值最大的一项是54,若数列的前n项之和为Sn,且Sn=80,S2n=6560,求n的值
【解】设公比为q,因为 S2n - Sn = 6480 >Sn
所以 q >1 ,则最大项是 an = a1q^(n-1) (因为an>0)
即a1q^(n-1)=54……①
又 Sn = a1(1 - q^n)/(1 - q) = 80,
S2n = a1(1 - q^2n)/(1 - q) = 6560
两式相除得(1-q^n)/(1-q^2n)=1/82
用平方差公式化简得1/(1+q^n)=1/82
所以 q^n=81
an=a1*q^(n-1)=54
两式相除的a1/q=2/3
s2n-sn
=an+1+……+a2n=a1*q^n+……+a1*q^(2n-1)
=a1*q^n*(1-q^n)/(1-q)
=6480
代入a1*q(n-1)=54得
54q*(1-q^n)/(1-q)=6480
代入q^n=81得
54q*(1-81)/(1-q)=6480
解得q=3
n=4