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21.某电厂冷却塔的外形是如图所示双曲线的一部分绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面,其中A、A′是双曲线的顶点,C、C′是冷却塔上口直径的两个端点,B、B′是

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21.某电厂冷却塔的外形是如图所示双曲线的一部分绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面,其中

A A ′是双曲线的顶点, C C ′是冷却塔上口直径的两个端点, B B ′是下底直径的两个端点.已知

AA ′=14 m CC ′=18 m BB ′=22 m 塔高20 m.

(Ⅰ)建立坐标系并写出该双曲线方程;

(Ⅱ)求冷却塔的容积(精确到10 m 3 塔壁厚度不计, 取3.14).

▼优质解答
答案和解析

21.本小题考查选择适当的坐标系建立曲线方程和解方程组等基础知识,考查应用所学积分知识、思想和方法解决实际问题的能力.

(Ⅰ)如图建立直角坐标系 xOy AA ′在 x 轴上, AA ′的中点为坐标原点 O CC ′与 BB ′平行于 x 轴.

设双曲线方程为 =1( a >0 b >0) 则 a = AA ′=7.      

又设 B (11, y 1 ) C (9 y 2 ) 因为点 B C 在双曲线上,所以有

=1,     ①

=1.       ②

由题意知 y 2 y 1 =20.         ③                                    

由①②③得 y 1 =-12 y 2 =8 b =7 .

故双曲线方程为 =1.                                         

(Ⅱ)由双曲线方程得 x 2 = y 2 +49.

设冷却塔的容积为 V m 3

V d y

    = d y                                 

 = ( y 3 +49 y ) .

经计算得 V =4.25×10 3 m 3 .

答:冷却塔的容积为4.25×10 3 m 3 .