已知双曲线x2a2-y2b2=1的实轴长为6，抛物线y2=20x的准线经过双曲线左焦点，过原点的直线与双曲线左、右两支分别交于A，B两点，P为双曲线上不同于A，B的任一点，当kPA，kPB存在时，kPA•kPB的

Question

已知双曲线

(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1的实轴长为6，抛物线y²=20x的准线经过双曲线左焦点，过原点的直线与双曲线左、右两支分别交于A，B两点，P为双曲线上不同于A，B的任一点，当k_PA，k_PB存在时，k_PA•k_PB的值为（　　）

A.

(16)/(9)

B.

(4)/(3)

C.

(9)/(16)

D.

(3)/(4)

Answer 1

由题意知：2a=6，a=3，
∵抛物线y²=20x的准线方程为x=-5，∴c=5，则b²=c²-a²=25-9=16．
∴双曲线方程为(x2)/(9)-(y2)/(16)=1．
由题意设A（x₁，y₁），B（-x₁，-y₁），P（x₀，y₀），
则y12=(16)/(9)(x12-9)，y02=(16)/(9)(x02-9)，
∵kPA=(y0-y1)/(x0-x1)，kPB=(y0+y1)/(x0+x1)，
∴k_PA•k_PB=(y0-y1)/(x0-x1)•(y0+y1)/(x0+x1)=(y02-y12)/(x02-x12)=((16)/(9)(x02-9)-(16)/(9)(x12-9))/(x02-x12)=(16)/(9)．
故选：A．