数列{an}中，an＞0，且{anan+1}是公比为q（q＞0）的等比数列，满足anan+1+an+1an+2＞an+2an+3（n∈N），则公比q的取值范围是（）A.0＜q＜1+22B.0＜q＜1+52C.0＜q＜−1+22D.0＜q＜−1+52

Question

数列{a_n}中，a_n＞0，且{a_na_n+1}是公比为q（q＞0）的等比数列，满足a_na_n+1+a_n+1a_n+2＞a_n+2a_n+3（n∈N），则公比q的取值范围是（　　）
A. 0＜q＜(1+√(2))/(2)
B. 0＜q＜(1+√(5))/(2)
C. 0＜q＜(−1+√(2))/(2)
D. 0＜q＜(−1+√(5))/(2)

Answer 1

法1：∵{a_na_n+1}是公比为q（q＞0）的等比数列，
∴设anan+1＝(a1a2)qn−1，
不等式可化为(a1a2)qn−1+(a1a2)qn＞(a1a2)qn+1，
∵a_n＞0，q＞0，
∴q²-q-1＜0，
解得：0＜q＜(1+√(5))/(2)；
法2：令n=1，不等式变为a₁a₂+a₂a₃＞a₃a₄，
∴a1a2+a1a2⋅q＞a1a2q2，
∵a₁a₂＞0，∴1+q＞q²，
解得：0＜q＜(1+√(5))/(2)，
故选B