椭圆的焦距为，且以双曲线的实轴为短轴，斜率为的直线经过点，与椭圆C交于不同两点、.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）当椭圆的右焦点F在以为直径的圆内时，求k的取值范围．

Question

椭圆的焦距为，且以双曲线的实轴为短轴，斜率为的直线经过点，与椭圆C交于不同两点、.（Ⅰ）求椭圆的标准方程； 

（Ⅱ）当椭圆的右焦点F在以为直径的圆内时，求k的取值范围．

Answer 1

.（1）∵焦距为4，∴ c=2………………………………………………2分

            又以双曲线的实轴为短轴

            ∴b=2………………………… 4分

            ∴标准方程为………………………………………5分

      （2）设直线l方程：y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

           由得

           ∴x₁+x₂=，x₁x₂=   ……………………7分

由（1）知右焦点F坐标为（2，0），

             ∵右焦点F在圆内部，∴＜0………………………………9分

             ∴（x₁ -2）（x₂-2）+ y₁y₂＜0

             即x₁x₂-2（x₁+x₂）+4+k² x₁x₂+k（x₁+x₂）+1＜0…………………… 10分

             ∴＜0…………… 12分

             ∴k＜……………………………………… 13分