若点A（m，0）到双曲线x24−y2＝1的实轴的一个端点的距离是A到双曲线上的各个点的距离的最小值，则m的取值范围是（）A．[-2，2]B．[−5，5]C．[−52，52]D．(−∞，−32]∪[32，+∞)

Question

若点A（m，0）到双曲线(x2)/(4)−y2＝1的实轴的一个端点的距离是A到双曲线上的各个点的距离的最小值，则m的取值范围是（　　）

A．[-2，2]
B．[−√(5)，√(5)]
C．[−(5)/(2)，(5)/(2)]
D．(−∞，−(3)/(2)]∪[(3)/(2)，+∞)

Answer 1

由题意知双曲线(x2)/(4)-y²=1焦点在x轴上，且a=2，b=1，c=√(5)，
∴双曲线的左、右顶点分别为为M（-2，0）、N（2，0）；

显然，当-2≤m＜0时，点A（m，0）到双曲线的左顶点的距离最短，
当0＜m≤2时，点A（m，0）到双曲线的右顶点的距离最短，
当m=0时，点A（m，0）到双曲线的左、右顶点的距离相等且最短；
当m＞2时，设双曲线右支上任意一点P（x，y），
|PA|²=（x-m）²+y²=（x-m）²+(x2)/(4)-1≥|AN|²=（2-m）²，
∴x²-2mx+(x2)/(4)-1≥4-4m，
∴（2x-4）m≤(5)/(4)x²-5=(5)/(4)（x²-4），
∵x≥2，
∴m≤(5)/(8)（x+2），又（x+2）_min=4，
∴m≤(5)/(2)，
综上，2＜m≤(5)/(2)时，点A（m，0）到双曲线的右顶点的距离最短；
同理可得，当-(5)/(2)≤m＜-2时，点A（m，0）到双曲线的左顶点的距离最短．
综上所述，当-(5)/(2)≤m≤(5)/(2)时，满足题意．
故选：C．