椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，直线l过F2交椭圆于B，C两点．（1）如果直线l的方程为y=x-1，且△F1BC为直角三角形，求椭圆方程；（2）证明：以A为圆心，半径

Question

椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，右顶点为A，直线l过F₂交椭圆于B，C两点．
（1）如果直线l的方程为y=x-1，且△F₁BC为直角三角形，求椭圆方程；
（2）证明：以A为圆心，半径为b的圆上任意一点到F₁，F₂的距离之比为定值．

Answer 1

（1）∵l：y=x-1过右焦点F₂，∴F₂（1，0），∴椭圆左焦点F₁（-1，0），
∴c=1，设椭圆方程为(x2)/(b2+1)+(y2)/(b2)＝1．
①当B或C为直角顶点时，由对称性，不妨设B为直角顶点，
∴F₁B斜率为1，又过点F₁（-1，0），∴F₁B方程为y=-x-1，
联立

y＝x−1

y＝−x−1

，得B（0，-1），
∵点B地椭圆(x2)/(b2+1)+(y2)/(b2)＝1上，代入得：b=1，又c=1，
∴a²=b²+c²=2，
∴此时椭圆方程为(x2)/(2)+y2＝1．
②当F₁为直角顶点时，设F₁B：y=k（x+1），
F1 C方程为y=-(1)/(k)(x+1)，联立y=-x-1，解得B（(1+k)/(1−k)，(2k)/(1−k)），
同理C坐标为（(k−1)/(k+1)，(−2)/(k+1)），
∵点B，C在椭圆(x2)/(b2+1)+(y2)/(b2)＝1上，
∴

作业帮用户 2017-10-19

问题解析

（1）设椭圆方程为(x2)/(b2+1)+(y2)/(b2)＝1．当B或C为直角顶点时，由对称性，不妨设B为直角顶点，由已知条件推导出椭圆方程为(x2)/(2)+y2＝1；当F₁为直角顶点时，求出B（(1+k)/(1−k)，(2k)/(1−k)），C（(k−1)/(k+1)，(−2)/(k+1)），由此求出椭圆方程为(x2)/(√(3)+1)+(y2)/(√(3)+2)＝1．
（2）设为P（x₀，y₀），F₁（-c，0），F₂（c，0），其中c²=a²-b²，由((PF1)/(PF2))2＝(PF12)/(PF22)=((x0+c)2+y02)/((x0−c)2+y02)=(a+c)/(a−c)为定值，由此证明以A为圆心，半径为b的圆上任意一点到F₁，F₂的距离之比为定值．

名师点评

本题考点：

椭圆的简单性质．

考点点评：

本题考查椭圆方程的求法，考查圆上一点到椭圆两焦点的距离之比为定值的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．

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