如图1，⊙O的直径为AB，过半径OA的中点G作弦CE⊥AB，在CB上取一点D，分别作直线CD，ED，交直线AB于点F、M．（1）求∠COA和∠FDM的度数；（2）求证：△FDM∽△COM；（3）如图2，若将垂足G改取为

Question

如图1，⊙O的直径为AB，过半径OA的中点G作弦CE⊥AB，在

CB

上取一点D，分别作直线CD，ED，交直线AB于点F、M．
（1）求∠COA和∠FDM的度数；
（2）求证：△FDM∽△COM；
（3）如图2，若将垂足G改取为半径OB上任意一点，点D改取在

EB

上，仍作直线CD、ED，分别交直线AB于点F、M．试判断：此时是否仍有△FDM∽△COM？证明你的结论．

Answer 1

（1） ∵AB为直径，CE⊥AB
∴

AC

=

AE

，CG=EG
在Rt△COG中，
∵OC=OA，OG=(1)/(2)OA，
∵OG=(1)/(2)OC，
∴∠OCG=30°，
∴∠COA=60°，
又∵∠CDE的度数=(1)/(2)

CAE

的度数=

AC

的度数=∠COA的度数=60°
∴∠FDM=180°-∠CDE=120°．
（2）证明：∵∠COM=180°-∠COA=120°，
∴∠COM=∠FDM
在Rt△CGM和Rt△EGM中，

GM=GM

∠CGM=∠EGM

CG=EG

∴Rt△CGM≌Rt△EGM（SAS）
∴∠GMC=∠GME
又∵∠DMF=∠GME，
∴△FDM∽△COM．
（3） 结论仍成立．
∵∠EDC的度数=(1)/(2)

CAE

的度数=

CA

的度数=∠COA的度数，
∴∠FDM=180°-∠COA=∠COM
∵AB为直径，
∴CE⊥AB，
在Rt△CGM和Rt△EGM中，

GM=GM

∠CGM=∠EGM

CG=EG

∴Rt△CGM≌Rt△EGM（SAS）
∴∠GMC=∠GME
∴△FDM∽△COM．