设A>0，0<x1<1A，xn+1=xn（2-Axn）（n=1，2，…），证明不等式xn<xn+1<1A对所有正整数n成立，并求出极限limn→∞xn．

Question

设A>0，0<x₁<(1)/(A)，x_n+1=x_n（2-Ax_n）（n=1，2，…），证明不等式x_n<x_n+1<(1)/(A)对所有正整数n成立，并求出极限

lim

n→∞

x_n．

Answer 1

证明：用数学归纳法，
当n=1时，由于01<(1)/(A)，因此
x₂=x₁（2-Ax₁）>x1(2-A(1)/(A))=x1；
假设当n=k时，有xk<xk+1<(1)/(A)，则当n=k+1时，
x_k+2=x_k+1（2-Ax_k+1）>xk+1(2-A(1)/(A))=xk+1，且
x_k+2=x_k+1（2-Ax_k+1）=(1)/(A)-A(xk+1-(1)/(A))2<(1)/(A)
因此，x_n<x_n+1<(1)/(A)对所有正整数n成立
由归纳法证明得到x_n<x_n+1<(1)/(A)，可知{x_n}是单调递增且有上界的，因此

lim

n→∞

x_n存在
设

lim

n→∞

x_n=a，则a=a（2-Aa），解得a=0或a=(1)/(A)
由于a≥x₁，知a=0不成立
因此，

lim

n→∞

x_n=(1)/(A)．