如图1，在△ABC中，∠ABC的角平分线与∠ACB的外角平分线交于A1．（1）当∠A为70°时，∠A1=°；（2）如图2，∠A1BC的角平分线与∠A1CD的角平分线交于A2，∠A2BC与A2CD的平分线交于A3，如此继

Question

如图1，在△ABC中，∠ABC的角平分线与∠ACB的外角平分线交于A₁．
（1）当∠A为70°时，∠A₁=______°；
（2）如图2，∠A₁BC的角平分线与∠A₁CD的角平分线交于A₂，∠A₂BC与A₂CD的平分线交于A₃，如此继续下去可得A₄，请写出∠A与∠A₄的数量关系______；
（3）如图3，若E为BA延长线上一动点，连EC，∠AEC与∠ACE的角平分线交于Q，试求∠Q与∠A₁的数量关系．

Answer 1

（1）由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁+∠A₁BC，
∵∠ABC的角平分线与∠ACB的外角平分线交于A₁，
∴∠A₁CD=(1)/(2)∠ACD，∠A₁BC=(1)/(2)∠ABC，
∴∠A₁+∠A₁BC=(1)/(2)（∠A+∠ABC）=(1)/(2)∠A+(1)/(2)∠ABC，
∴∠A₁=(1)/(2)∠A，
∵∠A=70°，
∴∠A₁=35°；

（2）由（1）同理可得∠A₂=(1)/(2)∠A₁，
∠A₃=(1)/(2)∠A₂，
∠A₄=(1)/(2)∠A₃，
∴∠A=16∠A₄；
故答案为：35；∠A=16∠A₄．

（3）∵EQ、CQ分别为∠AEC、∠ACE的角平分线，
∴∠QEC=(1)/(2)∠AEC，∠QCE=(1)/(2)∠ACE，
又∵∠AEC+∠ACE=∠BAC，
∴∠Q=180°-（∠QEC+∠QCE）=180°-(1)/(2)（∠AEC+∠ACE），
=180°-(1)/(2)∠BAC，
由（1）可知∠BAC=2∠A₁，
∴∠Q=180°-∠A₁，
∴∠Q+∠A₁=180°．